曾蓉——巧用投影，妙解向量数量积

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邹生书，男，1962年12月出生，中学数学高级教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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巧用投影，妙解向量数量积

——向量数量积几何意义的应用

江西省新建二中    曾蓉

      处理向量数量积问题，常用的方法有：定义法、坐标法，基向量法以及几何意义法（即投影法）。而许多同学对数量积的几何意义不熟悉，并且对其应用环境感到陌生，从而导致了解决问题时应用意识淡薄。下面我们就对数量积的几何意义再一次地进行剖析。

【反思】本题由于图形常规用基底分解思想及坐标法比较方便的得出结果。而用数量积的定义则难度较大，其中一个向量在变，两向量的夹角则在变，但当我们进一步思考，发现两个向量分别是一定一动，动向量在定向量方向上的投影则把两个不定的量（其中一个向量的模及两个向量的夹角）全部包括在内，根据数量积几何意义，只要判断出动点在哪投影会取得最大及最小即可（注意：投影不是距离）。     

 【分析】由于三角形不特殊，外心O的位置不明了，各个向量的夹角也不清楚，而且条件当中根本就没有出现两个向量的数量积，因此建立直角坐标系和数量积定义法显然不适用了。且看下列思路分析：

【反思】可以得出，坐标系法已经不太适合了，虽然基底分解的思想也可以解决，但明显思维性强，计算量大。而在这里根据已知条件构造两个向量数量积，并且利用它的几何意义，发现向量AO在AB,AC方向上的投影是一个定值，问题则可以迎刃而解了。

【分析】根据条件，无论是定义法、坐标法及基底分解都不是处理此题的最佳方法。那么，“投影法”会不会给我们带来“惊喜”呢？

固然，数量积的处理有多种方法，而对于某些向量问题，若采用“投影法”，即通过数量积的几何意义优先考虑与恰当表征，将思维引入到一个令人耳目一新的奇妙世界，简约了问题解决的思维长度，使得运算更简便、步骤更“轻盈”、方法更“犀利”。平常教学中只要我们树立意识，大胆尝试，独具魅力的“投影法”将会给我们带来更多意想不到的“惊喜”。

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